博弈论(六)——产物司理从来不做赔本的博弈

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项目又赚了一百万,老板给开发和产物司理各发了50万。

产物司理对开发说:实在我们两人对这个项目的孝敬,应该并不是完全一样的,以是直接中分显然是不合理的。

开发说:我赞成,我对这个项目的孝敬显然要大得多,我应该拿比你更多的奖金才对。

产物司理说:然而我以为我的孝敬比你大。我们谁也说服不了谁,不如来投硬币吧?

开发说:行,那投一次硬币,正面朝上你把你的50万给我,反面朝上我把我的50万给你。

产物司理:这样做太冒险了,偶然性太大。我们换一个规则吧:我们两人各拿出一枚硬币,自己任选一面朝上,然后同时亮出来。若是两枚硬币都是正面朝上,那么我给你5万。若是都是反面朝上,我给你1万。若是一正一反,那么你给我三万。怎么样?

开发心里盘算到:

产物给开发钱的数学期望:1/2 * 1/2 * 5 + 1/2 * 1/2 * 1 - 3 * (1/2 * 1/2 + 1/2 * 1/2) = 0 万
开发给产物钱的数学期望:1/2 * 1/2 * 3 + 1/2 * 1/2 * 3 - 5 * 1/2 * 1/2 - 1 * 1/2 * 1/2 = 0万

数学期望是相同的,说明这个游戏是公正的,纯随机的。和直接丢硬币判断正反面是没有区别的。那么谁拿得多钱,完全看天意。以是开发赞成了产物的玩法。

投硬币举行了一下昼,开发输光了所有的钱。

我们知道,产物司理不会做赔本生意。那么为什么她知道自己会赢呢?

这是由于,两个人各拿一个硬币,同时亮出时,每个人出正面或者出反面的概率并不是相同的1/2。例如开发决议每次都出硬币正面,此时开发出正面的概率是1,出反面的概率是0。

一旦产物知道了开发出硬币的概率,她只要反过来,例如开发始终出正面,那么产物司理始终出反面,就可以稳赚不赔。

为了防止这种情形发生,开发需要保证,无论产物司理出正面照样反面,自己的收益都是恒定的。

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联博统计

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假设开发出正面的概率为x,出反面的概率为(1 - x),那么,假设产物司理会出正面,此时开发的收益期望为:

5x - 3(1-x)
8x - 3

假设产物司理会出反面,此时开发的收益期望为:

-3x + 1 * (1-x)
-4x + 1

以是:

8x - 3 = 1 - 4x
12x = 4
x = 1/3

以是开发应该保证,泛起正面的概率为1/3,泛起反面的概率为2/3,此时无论产物司理出正面照样反面,自己的收益都不受影响。

同理,产物司理也需要保证无论开发出正面照样反面,自己的收益都不受影响。以是,假设产物司理出正面的概率为y,出反面的概率为(1-y),于是:

-5y + 3(1-y) = 3y - 1 * (1-y)
y = 1 / 3

以是产物司理出正面的概率也是1/3,出反面的概率也是2 / 3。

有了这个概率,我们来盘算一下开发的收益:


5 * (1/3 * 1/3) + (2/3 * 2/3) - 3(1/3 * 2/3 + 2/3 * 1/3) = -1/3

产物司理的收益:


3 * (1/3 * 2/3 + 2/3 * 1/3) - 5(1/3 * 1/3) - 2/3 * 2/3 = 1/3

以是,每一轮产物司理的期望收益是1/3,而开发的期望收益是-1/3。

这就是为什么只要游戏举行足够多次,开发总是会输光的缘故原由。

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